Question

已知函数f（x）=

1 x -x，x＜0 a•3x，x≥0

，若f[f（x）]=0只有一个零点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，先求出f（x）的值，再由f（x）的值代入分段函数中进行讨论，从而求出a的取值范围．

解答： 解：∵f[f（x）]=0只有一个零点，则a≠0；
若f（x）＜0，f[f（x）]=0可化为

1

f(x)

-f（x）=0，
解得，f（x）=-1，
若f（x）≥0，f[f（x）]=0可化为
a•3^f（x）=0，无解；
综上所述，
f[f（x）]=0只有一个零点可化为方程f（x）=-1只有一个解，
若x＜0，则f（x）=-1可化为

1

x

-x=-1，有且只有一个解；
则x≥0时，f（x）=-1无解，
即a•3^x=-1无解，
①若a＞0，a•3^x=-1无解成立；
②若a＜0，化为a•3^x≤a•3⁰＜-1，
即a＜-1；
综上所述，a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）．

点评：本题考查了分段函数与方程的综合应用，考查了分类讨论的数学思想，属于难题．