Question

【题目】已知a≤8．函数f（x）＝a1nx﹣x2+5，g（x）＝2x+

（1）若f（x）的极大值为5，求a的值

（2）若关于x的不等式f（x）≤g（x）在区间[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围，（1n2≈0.7）

Answer 1

【答案】（1）a＝2e；（2）

【解析】

(1)求导后分的不同取值范围求的最值,进而分析函数的极值再代入求解即可.

(2)构造函数再求导分析单调性,分情况讨论最大值再根据最大值求关于参数a的取值范围即可.

（1）函数f（x）＝a1nx﹣x2+5,函数的定义域为{x|x＞0},

函数的f（x）的导数f′（x）＝﹣2x＝,

当a≤0,则f′（x）＜0,此时函数单调递减无极大值,∴a＞0,

∴f（x）在（0,）上单调递增,在（,+∞）上函数单调递减,

函数f（x）的极大值为：f（）＝5,解得：a＝2e；

（2）关于x的不等式f（x）≤g（x）在区间[1,+∞）上恒成立,

即：a1nx﹣x2+5﹣2x﹣≤0在区间[1,+∞）上恒成立,

令为h（x）＝a1nx﹣x2+5﹣2x﹣,x∈[1,+∞）,

则有：h′（x）＝﹣2x﹣2+＝﹣,

①当a≤2时,h′（x）≤0,h（x）在区间[1,+∞）上单调递减,

h（x）最大值＝h（1）＝2﹣a≤0,即：a≥2,∴a＝2；

②当a＞2时,h（x）在区间[1,）上单调递增,在区间（,+∞）上单调递减,

h（x）最大值＝h（）＝1n﹣+5﹣2≤0,

令＝t∈（1,4],即：t1nt﹣t+5﹣4≤0,令u（t）＝t1nt﹣t+5﹣4,u′（t）＝1nt﹣,

由u（t）在（1,4]上单调递增,且u′（1）＜0,u′（4）＞0,

知存在t0∈（1,4]使得且u′（t0）＝0,

u（t）在区间（1,t0）上单调递减,在区间（t0,4]上单调递增,

又且u（1）＝0,u（4）＝41n4﹣7＝8ln2﹣7＜0,

∴t1nt﹣t+5﹣4≤0,在t∈（1,4]上恒成立,∵已知a≤8,故：2＜a≤8,

即a的取值范围是：a∈