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某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).

 (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式,并指出其定义域.

(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.

(1) y=800(x+)+1600,函数定义域为[12.5,16] (2) 当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低为45000元.


解析:

  (1)因污水处理水池的长为x米,则宽为米,

总造价y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由题设条件 

解得12.5≤x≤16,即函数定义域为[12.5,16].

(2)先研究函数y=f(x)=800(x+)+16000在[12.5,16]上的单调性,

对于任意的x1,x2∈[12  5,16],不妨设x1x2,

f(x2)-f(x1)=800[(x2x1)+324()]=800(x2x1)(1-),

∵12.5≤x1x2≤16.

∴0<x1x2<162<324,∴>1,即1-<0.

x2x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),

故函数y=f(x)在[12.5,16]上是减函数.

∴当x=16时,y取得最小值,此时,ymin=800(16+)+16000=45000(元),=12.5(米)

综上,当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低为45000元.

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