Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

3

）+sin（ωx-

π

3

）+

3

cos（π-ωx）（ω＞0）的图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间：（2）当0＜x＜

2π

3

时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的恒等变换，求出正弦型函数的解析式，进一步求出函数的最小正周期和单调区间．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx+

π

3

）+sin（ωx-

π

3

）+

3

cos(π-ωx)
=sinωx-

3

cosωx=2sin（ωx-

π

3

）
由于函数f（x）的最小正周期T=π
所以：ω=2
所以：f（x）=2sin（2x-

π

3

）
令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）
所以：f（x）的单调递增区间为：[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2sin（2x-

π

3

）
当0＜x＜

2π

3

所以：-

π

3

＜2x-

π

3

＜π
进一步求得：-

3

2

＜sin(2x-

π

3

)≤1
所以：-

3

＜f(x)≤2
函数的值域为：f(x)∈(-

3

，2]

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的求法，函数最小正周期的确定，利用函数的定义域求正弦型函数的值域．属于基础题型．