Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，从而求得f（$\frac{π}{3}$）的值．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得g（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$cos（ωx+φ）]=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），
因为f（x）为偶函数，所以φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈z，
即φ=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．又因为0＜φ＜π，所以φ=$\frac{2π}{3}$．
所以f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=2cosωx．
由题意得$\frac{2π}{ω}$=2π，所以ω=1．
故f（x）=2cosx，因此f（$\frac{π}{3}$）=2cos$\frac{π}{3}$=1．
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后，得到y=2cos（x-$\frac{π}{6}$）的图象．
再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2cos（$\frac{1}{4}$x-$\frac{π}{6}$）的图象．
所以g（x）=2cos（$\frac{1}{4}$x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ≤$\frac{x}{4}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π（k∈Z），
求得 8kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤8kπ+$\frac{14π}{3}$（k∈Z），
因此g（x）的单调递减区间为[8kπ+$\frac{2π}{3}$，8kπ+$\frac{14π}{3}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．