Question

（文科）已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．
（I）证明为常数；
（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．

Answer 1

（1）略
（2）

（文科）解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是

．综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则，，
，，由得：
即于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I）有．…………………②
．………………………③
由①、②、③得．　…④  ．…⑤
当时，，由④、⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．