Question

设函数f（x）=e^x-ax-2．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a=1且x∈[2，+∞），求f（x）的最小值；
（3）在（2）条件下，（x-k）f′（x）+x+1＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求函数的导数，利用导数求f（x）的最小值；
（3）将不等式恒成立转化为最值恒成立，构造函数求函数的最值即可．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-ax-2，定义域是R，
∴f′（x）=e^x-a；
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在R上递增，f（x）的单调增区间是R，无减区间； 
若a＞0，当f′（x）＞0时，有x＞lna，故f（x）递增，
当f′（x）＜0时，有x＜lna，故f（x）递减，
∴f（x）的单调增区间是（lna，+∞），
单调减区间是（-∞，lna）．
（2）当a=1时，f′（x）=e^x-1，
又x∈[2，+∞），∴f′（x）＞0；
∴f（x）在[2，+∞）上是增函数；
∴f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（x）_min=e²-4．
（3）当a=1，且x∈[2，+∞）时，
（x-k）f′（x）x+1=（x-k）（e^x-1）x+1＞0等价于
k＜

1

x(ex-1)

+x（其中x≥2）
令g（x）=

1

x(ex-1)

+x（其中x≥2），
则k＜g（x）_min恒成立．
又g（x）_min=

2e2+1

e2-1

，
∴k＜

2e2+1

e2-1

．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．