Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2$\sqrt{2}$，PD=2．
 （1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：AC⊥PB；
（3）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=F，连接EF，F为AC的中点，从而PA∥EF，由此能证明PA∥平面BDE．
（2）由等腰三角形性质得AC⊥BD，由线面垂直得PD⊥AC，由此能证明AC⊥平面PBD．
（3）由V_B-ADE=V_E-ABD，利用等积法能求出三棱锥B-ADE的体积．

解答 （1）证明：如图，设AC∩BD=F，连接EF，
∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴F为AC的中点，
又∵E为PC的中点，∴EF为△PAC的中位线，
∴PA∥EF，
又∵EF?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）证明：∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又∵PD∩BD=D，且PD?平面PBD、BD?平面PBD，
∴AC⊥平面PBD．
（3）解：∵AD⊥CD，AD=CD=1，∴AC=$\sqrt{2}$，
由（1）知F为AC中点，∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（2）知AF⊥BD，∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
又∵PD⊥平面ABCD，PD=2，E为PC中点，
∴E到平面ABD的距离为h=$\frac{1}{2}$PD=1，
∴V_B-ADE=V_E-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•h$=$\frac{1}{3}$，
∴三棱锥B-ADE的体积为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．