Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点（

π

4

，2）．
（1）求实数m的值及函数f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，求函数f（x）的最小值及x的取值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，结合图象过点（

π

4

，2），求得m=1，再由两角和的正弦公式，再由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求区间；
（2）由x的范围，求得2x+

π

4

的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最小值及对应的x的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x
由于函数y=f（x）的图象经过点（

π

4

，2），
则f（

π

4

）=2，即有m（1+1）=2，解得，m=1，
则f（x）=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin（2x+

π

4

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
即有函数f（x）的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，则2x+

π

4

∈[-

π

12

，

5π

4

]，
则当x=

π

2

时，sin（2x+

π

4

）取得最小值-

2

2

，
f（x）取得最小值，且为1+

2

×（-

2

2

）=0．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数的单调区间和图象与性质及最值的求法，属于中档题．