Question

已知0＜k＜4，直线l₁：kx-2y-2k+8=0和直线l：2x+k²y-4k²-4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为

 

．

Answer 1

分析：先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的k 值．

解答：解：如图所示：
直线l₁：kx-2y-2k+8=0 即k（x-2）-2y+8=0，过定点B（2，4），
与y 轴的交点C（0，4-k），
直线l：2x+k²y-4k²-4=0，即  2x-4+k² （y-4）=0，
过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k²+2，0），
由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，
故所求四边形的面积为

1

2

×4×（2 k²+2-2）+

2×(4-k+4)

2

=4k²-k+8，
∴k=

1

8

时，所求四边形的面积最小，
故答案为

1

8

．

点评：本题考查直线过定点问题，二次函数的性质得应用，体现了转化及数形结合的数学思想．