Question

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中D为AA₁的中点．
（1）求平面B₁DC把多面体ABC-A₁B₁C₁分成两部分的体积之比；
（2）在线段B₁C上是否存在一点E，使A₁E∥平面BDC，若存在，指出E点的位置，若不存在，请说明理由；
（3）求直线BD与平面B₁DC夹角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由三视图知直观图为直三棱柱，且底ABC中，BC⊥AC，BC=CC₁=2，AC=1，由此能求出平面B₁DC把多面体ABC-A₁B₁C₁分成两部分的体积之比．
（2）取B₁C的中点E，BC中点F，连EF，A₁E，DF，由已知得A₁DEF为平行四边形，由此能求出在线段B₁C上存在一点E，使A₁E∥平面BDC，此时E为线段B₁C中点．
（3）连结C₁D，由题意得CD⊥C₁D，从而CD⊥面B₁C₁D，作C₁M⊥B₁D，则C₁M⊥面B₁DC，由此能求出直线BD与平面B₁DC夹角的正弦值．

解答： 解：（1）由三视图知直观图为直三棱柱，
且底ABC中，BC⊥AC，BC=CC₁=2，AC=1，
∴VB1-A1DCC1=

1

3

SA1DCC1•B1C1=

1

3

×

(1+2)

2

×2=1，
VABC-A1B1C1=S_△ABC•AA₁=

1

2

×2×1×2=2，
∴平面B₁DC把多面体ABC-A₁B₁C₁分成两部分的体积之比为1：1．
（2）取B₁C的中点E，BC中点F，连EF，A₁E，DF，
由已知得A₁DEF为平行四边形，∴A₁E∥DF，
而DF?面BDC，A₁E?面BDC，∴A₁E∥面BDC，
∴在线段B₁C上存在一点E，使A₁E∥平面BDC，此时E为线段B₁C中点．
（3）连结C₁D，由题意得CD⊥C₁D，
又CD⊥B₁C₁，∴CD⊥面B₁C₁D，
∴面B₁DC⊥面B₁C₁D，作C₁M⊥B₁D，则C₁M⊥面B₁DC，
∴面B₁DC⊥面B₁C₁D，作C₁M⊥B₁D，
则C₁M⊥面B₁DC，
由题意得C1M=

2 3

3

，即B点到平面B₁DC的距离为

2 3

3

，
设直线BD与平面B₁DC夹角为θ，
∵BD=

6

，∴sinθ=

C1M

BD

=

2 3 3

6

=

2

3

．
∴直线BD与平面B₁DC夹角的正弦值为

2

3

．

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．