Question

已知侧棱垂直于底面的三棱柱CDE-C₁D₁E₁的顶点都在同一球面上，在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，该球的体积为

256π

3

，则三棱锥C₁-CDE的体积为（　　）

A．5 3

B．10 3

C．30 3

D．20 3

Answer 1

设△CDE的外接圆的半径为r，球的半径为R，
∵球的体积为

256π

3

，
∴

256π

3

=

4πR2

3

，解得R=4，
∵在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，
∴DE²=CE²+CD²-2CE×CD×cos∠DCE
=16+25-2×4×5×cos60°=21，
则DE=

21

，
由正弦定理得，2r=

DE

sin∠DCE

=

21

sin60°

=2

7

，解得r=

7

，
∴CC₁=2

R2-r2

=6，
则三棱锥C₁-CDE的体积V=

1

3

×S△DCE×CC1
=

1

3

×

1

2

×4×5sin60°×6
=10

3

，
故选B．