Question

17．极坐标方程ρ=$\frac{ep}{1-ecosθ}$，（p＞0，e＞0），可以转化为平面直角坐标方程$\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{|{x+p}|}}$=e，该式子可以解释为：点（x，y）到原点的距离与到x=-p的距离之比为e，根据圆锥曲线的定义可以得到：ρ=$\frac{ep}{1-ecosθ}$表示一个以原点为其中一个焦点，以x=-p为对应准线的圆锥曲线．如图：过椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{9}$=1的左焦点C作CP₁，CP₂，CP₃…CP₁₀等分∠ACB（A，B分别为椭圆的左右顶点），记P₁，P₂，P₃…P₁₀到左准线的距离分别为d₁，d₂，d₃…d₁₀，则$\frac{1}{d_1}$+$\frac{1}{d_2}$+$\frac{1}{d_3}$+…+$\frac{1}{{{d_{10}}}}$=$\frac{{10\sqrt{7}}}{9}$．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{9}$=1可得a，b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$.$e=\frac{c}{a}$，p=-c-$（-\frac{{a}^{2}}{c}）$=$\frac{{b}^{2}}{c}$．由极坐标方程ρ=$\frac{ep}{1-ecosθ}$，可得$\frac{e}{ρ}$=$\frac{1-ecosθ}{p}$．可得$\frac{1}{{d}_{i}}$=$\frac{e}{{ρ}_{i}}$=$\frac{1-ecos{θ}_{i}}{p}$．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{9}$=1可得a=4，b=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，p=-c-$（-\frac{{a}^{2}}{c}）$=$\frac{{b}^{2}}{c}$=$\frac{9}{\sqrt{7}}$．
由极坐标方程ρ=$\frac{ep}{1-ecosθ}$，可得$\frac{e}{ρ}$=$\frac{1-ecosθ}{p}$．
∴$\frac{1}{d_1}$+$\frac{1}{d_2}$+$\frac{1}{d_3}$+…+$\frac{1}{{{d_{10}}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{9}$[10-e$（cos\frac{π}{11}+cos\frac{2π}{11}+…+cos\frac{10π}{11}）$]=$\frac{{10\sqrt{7}}}{9}$．
故答案为：$\frac{10\sqrt{7}}{9}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．