Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c∈R．且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）证明：当a=3、b=2时函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B．
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值为21，试求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，分别求出当a=3、b=2时函数f（x）与g（x）的解析式，联立方程后，易根据二次方程根的个数及△的关系，得到答案．
（II）由题意可得F（x）=ax²+2bx+c，我们可根据二次函数在闭区间上的最值求法，结合函数F（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值为21，构造关于a，b的方程，解方程即可求出答案．

解答：证明：（Ⅰ）由已知3x²+2x+c=-2x
即3x²+4x+c=0．且a+b+c=0，所以c=-5（2分）
△=4b²-4ac＞0
因此函数f（x）与g（x）图象交于不同的两点A、B．（6分）
解：（Ⅱ）由题意知，F（x）=ax²+2bx+c
∴函数F（x）的图象的对称轴方程为∵x=-

b

a

又∵a+b+c=0
∴x=

a+c

a

=1+

c

a

＜1（8分）
又a＞0
∴F（x）在[2，3]单增
∴

f(2)=9 f(3)=21

（10分）
即

3a+3b=9 8a+5b=21

∴

a=2 b=1

（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数图象与性质，二次函数在闭区间上的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．