Question

已知二项式(

5	x

-

1

x

)n，其中n∈N，n≥3．
（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；
（2）设n≤2012，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？

Answer 1

分析：（1）利用二项式的展开式求出第4项，通过x的指数为0，求出a的值．
（2）连续三项的二项式系数分别为

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

（1≤k≤n-1），由题意2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，化简求解，利用n为自然数求出所有的n的个数．

解答：解：（1）∵T4=

C

3 n

(

5	x

)n-3(-

1

x

)3=

C

3 n

(-1)3x

n-18

5

为常数项，
∴

n-18

5

=0，即n=18；                                    …..（3分）
（2）连续三项的二项式系数分别为

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

（1≤k≤n-1），
由题意2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，
依组合数的定义展开并整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
故n1，2=

4k+1± 8k+9

2

，…..（6分）
则因为n为整数，并且8k+9是奇数，所以令8k+9=（2m+1）²⇒2k=m²+m-2，
代入整理得n1=(m+1)2-2，n2=m2-2，∵44²=1936，45²=2025，
故n的取值为44²-2，43²-2，…，3²-2，共42个．      …..（10分）

点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，方程的思想的应用，考查计算能力．