Question

14．设命题p：函数f（x）=lg（ax²-2x+1）的定义域为R；命题q：当$x∈[\frac{1}{2}，\;2]$时，$x+\frac{1}{x}＞a$恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax²-2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax²-2x+1）的定义域为R，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．对于命题q：当$x∈[\frac{1}{2}，\;2]$时，利用基本不等式的性质可得：x+$\frac{1}{x}$≥2，根据$x+\frac{1}{x}＞a$恒成立，可得a的求值范围．如果命题“p∧q”为真命题，可得实数a的取值范围．

解答 解：对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax²-2x+1）的定义域不为R．
由函数f（x）=lg（ax²-2x+1）的定义域为R，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1．
对于命题q：当$x∈[\frac{1}{2}，\;2]$时，x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时取等号．由当$x∈[\frac{1}{2}，\;2]$时，$x+\frac{1}{x}＞a$恒成立，
∴a＜2．
如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2．
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查了对数函数的定义域、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．