Question

如图，在长方体A BCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（I）求证：A₁C⊥平面AEF；
（Ⅱ）若AB=4，AD=3，AA₁=5，求平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先根据长方体的性质，得到线面垂直，进一步转化成线线垂直，同理得到另一对线线垂直，最后得到线面垂直．
（Ⅱ）首先建立空间直角坐标系利用线面垂直得到平面的法向量，利用上步的结论进一步得到平面AEF的法向量，最后利用法向量的夹角求出二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在长方体A BCD-A₁B₁C₁D₁中，
BC⊥平面AA₁B₁B，AE?平面AA₁B₁B
所以：BC⊥AE，
由于AE⊥A₁B
所以：AE⊥平面A₁BC
AE⊥A₁C①
同理：DC⊥平面ADD₁A₁，AF?平面ADD₁A₁，
所以：DC⊥AF
由于：AF⊥A₁D
所以：AF⊥平面A₁CD
AF⊥A₁C②
由①②知：A₁C⊥平面AEF
（Ⅱ）解：分别以AB，AD，AA₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，连接AC，
由于：AB=4，AD=3，AA₁=5
所以：

AC

=(4，3，0)，

BD

=(-4，3，0)，

DD1

=(0，0，5)
由于：

AC

•

DD1

=0，

AC

•

BD

=0
所以：AC⊥DD₁，AC⊥BD
AC⊥平面DBB₁D₁
所以可以把

AC

看做是平面DBB₁D₁的法向量．
又由于：AC₁⊥平面AEF
所以：

AC1

看做是平面AEF的法向量．

AC1

=(4，3，-5)
设平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角为θ
则：cosθ=|

AC • A1C

| AC || A1C |

|=

12 2

25

所以：平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的余弦值为

12 2

25

．

点评：本题考查的知识要点：面面垂直与线面垂直间的转化及线面垂直的判定定理，空间直角坐标系，法向量，二面角的应用，属于中等题型．