如下图，在三棱锥
中，
底面
，点
为以
为直径的圆上任意一动点，且
，点
是
的中点，
且交
于点
.
（1）求证：
面
；
（2）当
时，求二面角
的余弦值.
（1）详见解析；（2）
.
解析试题分析：（1）由已知条件平面得到
，再由已知条件得到
，从而得到
平面
，进而得到
，利用等腰三角形三线合一得到
，结合直线与平面垂直的判定定理得到
平面
，于是得到
，结合题中已知条件以及直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系
，利用空间向量法求二面角 的余弦值.
（1）证明：
底面，
，又易知，
平面，
，
又
，是的中点，
，
平面，
，
又已知
，
平面
；
（2）如下图以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，由于
，
可设
，则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
，
则
，即
，
可得
，
由（1）可知
为面的法向量，
易求
，
二面角的余弦值是.
考点：1.直线与平面垂直；2.空间向量法求二面角
名牌学校分层周周测系列答案
黄冈海淀全程培优测试卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥面ABC，AA1=
a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA1中点.
（1）求证：CD⊥面ABB1A1；
（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E-A1C1-A的大小为
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示的几何体中，面
为正方形，面
为等腰梯形，
，
，
，且平面
平面．
(1)求
与平面
所成角的正弦值；
(2)线段
上是否存在点
，使平面平面
？
证明你的结论．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四棱锥P—ABCD中，PD
底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=
，M为棱PB的中点．
(1)证明：DM平面PBC；
(2)求二面角A—DM—C的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四棱锥
的底面是正方形，侧棱
底面
，过
作
垂直
交于
点，作
垂直
交于
点，平面
交
于
点，且
，
.
（1）设点
是
上任一点，试求
的最小值；
（2）求证：、在以
为直径的圆上；
（3）求平面
与平面所成的锐二面角的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知
的直径
，点
、
为上两点，且
，
，
为弧
的中点．将沿直径
折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（1）求证：
；
（2）在弧
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；
（3）求二面角
的正弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中点．
(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值．
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，
两点之间的距离为 ．