Question

某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树苗全部成活，则到哪一年年初植树后可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量自然增长率为20%，求全部绿化后的那一年年底该山林的木材总量（精确到1立方米，1.2⁸≈4.3）．

Answer 1

解：（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记第n年初植树量为a_n，
由题意数列{a_n}是首项为a₁=100，公差d=50的等差数列，
所以
∴n²+3n-88=0，
∴（n+11）（n-8）=0．
∵n∈N^*，
∴n=8．
∴到2009年年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）设2002年初木材存量为2a₁m³，到2009年底木材存量增加为2a₁×1.2⁸m³，
2003年初木材存量为2a₂m³，到2009年底木材存量增加为2a₂×1.2⁷m³，
…，
2009年初木材存量为2a₈m³，到2009年底木材存量增加为2a₈×1.2m³
则到2009年底木材总量为S=2a₁×1.2⁸+2a₂×1.2⁷+2a₃×1.2⁶+…+2a₈×1.2
S=900×1.2+800×1.2²+…+400×1.2⁶+300×1.2⁷+200×1.2⁸
1.2×S=900×1.2²+800×1.2³+…+400×1.2⁷+300×1.2⁸+200×1.2⁹
作差得：0.2S=200×1.2⁹+100（1.2²+1.2³+…+1.2⁸）-900×1.2=840×1.2⁸-1800≈840×4.3=1812
∴S=9060m³
答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量9060立方米．
分析：（1）根据第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩，可知每年的植树量组成以100为首项，50为公差的等差数列，利用等差数列的求和公式即可解决；
（2）根据（1）问可知，分别计算每年初木材存量，到2009年底木材存量增加量，进而求和，即可求得全部绿化后的那一年年底该山林的木材总量．
点评：本题以实际问题为载体，考查数列模型的建构，考查数列的求和，解题的关键是审清题意，建构数列模型．