Question

（2009•淮安模拟）【选修4-2：矩阵与变换】
曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵M=

1 a b 1

的作用下变换为曲线x²-2y²=1，
（1）求实数a，b的值；
（2）求M的逆矩阵M^-1．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y）为曲线x²-2y²=1上任意一点，P′（x′，y′）为曲线x²+4xy+2y²=1上与P对应的点，查找出两点之间的关系，将（x，y）代入曲线x²-2y²=1应与曲线x²+4xy+2y²=1重合，建立等式，解之即可；
（2）先判断|M|是否为0，然后根据逆矩阵求解公式直接解之即可．

解答：解：（1）设P（x，y）为曲线x²-2y²=1上任意一点，P′（x′，y′）为曲线x²+4xy+2y²=1上与P对应的点，则

1 a b 1

x′ y′

=

x y

，即

x=x′+ay′ y=bx′+y′

…（4分）
代入的（x′+ay′）²-2（bx′+y′）²=1得（1-2b²）x'²+（2a-4b）x'y'+（a²-2）y'²=1，
与曲线x²+4xy+2y²=1重合，从而

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，解得a=2，b=0，…（6分）
（2）因为M=

.

1 2 0 1

.

≠0，故M-1=

1 1 -2 1 0 1 1 1

=

1 -2 0 1

…（10分）

点评：本题主要考查的知识点是矩阵的变换，以及逆矩阵的求解，熟悉逆矩阵公式是解题的关键，属于容易题．