Question

设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+

2

)j，b=xi+(y-

2

)，且|a|+|b|=4．
（I）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（II）若轨迹C上在第一象限的一点P的横坐标为1，作斜率为

2

的直线l与轨迹C交于不同两点A、B，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）条件“|a|+|b|=4”可以看成是动点到两定点的距离之和为4，联想椭圆的定义解决“点P（x，y）的轨迹C”；
（II）△AOB的面积取到最大值问题，要先建立关于某个自变量的函数，后再求此函数的最大值即可．

解答：解：（I）∵a=xi+(y+

2

)j，b=xi+(y-

2

)，且|a|+|b|=4
∴点P（x，y）到点（ 0，

2

），（0，-

2

）的距离之和为4，
故点P的轨迹方程为

x 2

4

+

y 2

2

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）依题意得，直线AB的方程y=

2

x+m，代入椭圆方程，得4x²+2

2

mx+m²-4=0，
则x₁+x₂=-

2

2

m，x₁•x₂=

1

4

（m²-4），
又O点到AB的距离d=

|m|

3

，
因此，S_△AOB=

1

2

|AB|•d
=

1

2

•

(1+1)[(x1+x2) 2-4x1x2]

•

|m|

3

=

1

2

1 2 (8-m)2•m2

≤

2

，
∴当8-m²=m²时，即m=±

2

时，S_max=

2

．

点评：（1）平面向量与解析几何的结合通常涉及轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题．（2）直线l与点P的轨迹的交点问题，组成方程组解决．