Question

(本题满分15分) 已知圆，点，直线.⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；

⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.

Answer 1

解：⑴设所求直线方程为，即，

直线与圆相切，∴，得，

∴所求直线方程为                                   -----------------5分

⑵方法1：假设存在这样的点，

当为圆与轴左交点时，；

当为圆与轴右交点时，，

依题意，，解得，（舍去），或。  ---------------------------8分

下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。

设，则，  ∴，

从而为常数。                                     ---------------------------15分

方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，

∴，将代入得，

，即

对恒成立，          ---------------------------8分

∴，解得或（舍去），

所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。   ---------------------15分