Question

【题目】设函数f（x）= （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象过点（1， ），是否存在正数m，且m≠1使函数g（x）=logm[a2x+a﹣2x﹣mf（x）]在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定义域为R的奇函数

∴f（0）=0，

∴t=2

（2）解：由（1）得f（x）=ax﹣a﹣x，

∵f（1）＞0得 又a＞0

∴a＞1，

由f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0得f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1），

∵f（x）为奇函数，

∴f（kx﹣x2）＜f（1﹣x），

∵a＞1∴f（x）=ax﹣a﹣x为R上的增函数，

∴kx﹣x2＜1﹣x对一切x∈R恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立

故△=（k+1）2﹣4＜0解得﹣3＜k＜1

（3）解：函数f（x）的图象过点（1， ），

∴a=2，假设存在正数m，且m≠1符合题意，由a=2得 = =

设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，

∵x∈[1，log23]，

∴ 记h（t）=t2﹣mt+2，

∵函数 在[1，log23]上的最大值为0，

∴（ⅰ）若0＜m＜1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2在 有最小值为1

由于对称轴 ∴ ，不合题意

（ⅱ）若m＞1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2＞0在 上恒成立，且最大值为1，最小值大于0

①

又此时 ，

故g（x）在[1，log23]无意义

所以

② 无解，

综上所述：故不存在正数m，使函数 在[1，log23]上的最大值为0

【解析】（1）由奇函数的性质可知f（0）=0，得出t=2；（2）由f（1）＞0得 又a＞0，求出a＞1，判断函数的单调性f（x）=ax﹣a﹣x为R上的增函数，不等式整理为x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，利用判别式法求解即可；（3）把点代入求出a=2，假设存在正数m，构造函数设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2，对底数m进行分类讨论，判断m的值．