Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$．则函数f（x）的单调递增区间为（　　）

• A． [2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
• B． [2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）
• C． [2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
• D． [2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 由题意知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx在x=$\frac{π}{3}$处取得最值，从而可得（$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a）²=3+a²，从而解出f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），从而确定单调增区间．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx在x=$\frac{π}{3}$处取得最值；
∴（$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a）²=3+a²，
解得，a=1；
故f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
故2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故2kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的性质的判断与应用，同时考查了三角恒等变换的应用．