Question

【题目】已知平面内的定点到定直线的距离等于，动圆过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．在曲线上任取一点，过作的垂线，垂足为.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）记点到直线的距离为，且，求的取值范围；

（3）判断的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析． （3）见解析.

【解析】试题分析; （1）以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，求得F的坐标和直线l的方程，运用抛物线的定义，可得M的轨迹和方程；（2）利用向量点积运算可得到，根据条件，可得到角的范围;（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，讨论当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，A在上方，推得四边形EAFM为菱形，求得AMF的正切值，设出直线AM的方程，联立抛物线的方程，即可得到证明．

解析：

（1）过点与垂直的直线为轴， 轴与直线的交点为点，以的中点为原点建立直角坐标系．

设 ， 到定点与到定直线的距离相等，

化简得：

（2）设

， ,

．

（3）设 ， .

由，得的平分线所在的直线方程就是边上的高所在的直线方程．

的平分线所在的直线方程为．

由，消得．

， ．

的平分线所在的直线与曲线有且只有一个交点．