Question

（2012•惠州一模）一动圆与圆O1：(x-1)2+y2=1外切，与圆O2：(x+1)2+y2=9内切．
（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程．
（Ⅱ）设过圆心O₁的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点，请问△ABO₂（O₂为圆O₂的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用动圆与圆O1：(x-1)2+y2=1外切，与圆O2：(x+1)2+y2=9内切，可得|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R，∴|MO₁|+|MO₂|=4，由椭圆定义知M在以O₁，O₂为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的方程；
（2）当S△ABO2最大时，r也最大，△ABO₂内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，求得最值，即可求得结论．

解答：解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．
由题意，动圆与圆O1：(x-1)2+y2=1外切，与圆O2：(x+1)2+y2=9内切∴|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R，∴|MO₁|+|MO₂|=4．      （3分）
由椭圆定义知M在以O₁，O₂为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3．
∴动圆圆心M的轨迹L的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．  （6分）
（2）如图，设△ABO₂内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形△ABO₂的面积S△ABO2=

1

2

(|AB|+|AO2|+|BO2|)r=

1

2

[(|AO1|+|AO2|)+(|BO1|+|BO2|)]r=2ar=4r
当S△ABO2最大时，r也最大，△ABO₂内切圆的面积也最大，（7分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
则S△ABO2=

1

2

|O1O2|•|y1|+

1

2

|O1O2|•|y2|=y1-y2，（8分）
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得y1=

-3m+6 m2+1

3m2+4

，y2=

-3m-6 m2+1

3m2+4

，（10分）
∴S△ABO2=

12 m2+1

3m2+4

，令t=

m2+1

，则t≥1，且m²=t²-1，
有S△ABO2=

12t

3(t2-1)+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，令f(t)=3t+

1

t

，则f′(t)=3-

1

t2

，
当t≥1时，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△ABO2≤

12

4

=3，
即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得rmax=

3

4

，这时所求内切圆的面积为

9

16

π，
∴存在直线l：x=1，△ABO₂的内切圆M的面积最大值为

9

16

π．（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用椭圆的定义，确定S△ABO2最大时，r也最大，△ABO₂内切圆的面积也最大