Question

【题目】已知，函数.

（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；

（2）令，已知函数，若对任意，总存在 ，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】试题分析：（1）由条件知函数单调递减则则需在上恒成立,即在上恒成立，转化为求函数最值问题。（2）若对任意，总存在.使得成立，则，函数在的值域是在的值域的子集.分别求两个函数的值域，转化为集合间的包含关系即可。

（1）因为，

要使在为减函数，则需在上恒成立.

即在上恒成立，

因为在为增函数，所以在的最小值为，

所以.

（2）因为，所以.

，

当时， ， 在上为递增，

当时， ， 在上为递减，

所以的最大值为，

所以的值域为.

若对任意，总存在.使得成立，则，

函数在的值域是在的值域的子集.

对于函数，

①当时， 的最大值为，所以在上的值域为，

由得；

②当时， 的最大值为，所以在上的值域为，

由得或 (舍）.

综上所述， 的取值范围是.