Question

已知△ABC是边长为3，4，5的直角三角形，点P是此三角形内切圆上一动点，分别以PA、PB、PC为直径作圆，则这三个圆的面积之和的最大值与最小值的和为（　　）

• A、12π
• B、10π
• C、8π
• D、6π

Answer 1

分析：由△ABC是边长为3，4，5的直角三角形，点P是此三角形内切圆上一动点，建立平面直角坐标系，求三个圆的面积之和的最大值与最小值的和，转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最值问题．

解答：解：建立坐标系 设A（3，0），B（0，4），C（0，0），P（x，y），△ABC内切圆半径为r．
∵三角形ABC面积 S=

1

2

AB×AC=

1

2

（AB+AC+BC）r=12，解得 r=1
即内切圆圆心坐标为 （1，1）
∵P在内切圆上
∴（x-1）²+（y-1）²=1
∵P点到A，B，C距离的平方和为 d=x²+y²+（x-3）²+y²+x²+（y-4）²=3（x-1）²+3（y-1）²-2y+19=22-2y
显然 0≤y≤2 即 18≤d≤22，
∴

9π

2

≤

πd

4

≤

11π

2

即以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和最大值为

11π

2

最小值为

9π

2

．
故选B．

点评：考查了解析法求最值，求三个圆的面积之和的最大值与最小值的和转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最值问题，体现了转化的思想方法．