【题目】如图,在四棱锥中P﹣ABCD,AB=BC=CD=DA,∠BAD=60°,AQ=QD,△PAD是正三角形.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)已知点M是线段PC上,MC=λPM,且PA∥平面MQB,求实数λ的值.
【答案】(1)见解析;(2)2.
【解析】
(1)连结BD,则△ABD为正三角形,从而AD⊥BQ,AD⊥PQ,进而AD⊥平面PQB,由此能证明AD⊥PB;
(2)连结AC,交BQ于N,连结MN,由AQ∥BC,得,根据线面平行的性质定理得MN∥PA,由此能求出实数λ的值.
证明:(1)如图,连结BD,由题意知四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,
∴△ABD为正三角形,
又∵AQ=QD,∴Q为AD的中点,∴AD⊥BQ,
∵△PAD是正三角形,Q为AD中点,
∴AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,
又∵PB平面PQB,∴AD⊥PB.
解:(2)连结AC,交BQ于N,连结MN,
∵AQ∥BC,∴,
∵PN∥平面MQB,PA平面PAC,
平面MQB∩平面PAC=MN,
∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA,
∴,
综上,得,∴MC=2PM,∵MC=λPM,∴实数λ的值为2.
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【题目】已知点,点为平面上动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过点的直线与轨迹交于两点,在处分别作轨迹的切线交于点,设直线的斜率分别为,,求证:为定值.
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【题目】选修4﹣1:几何证明选讲
如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点,直线PO交⊙O于B、C两点,D是OC的中点,连接AD并延长交⊙O于点E,若PA=2 ,∠APB=30°.
(1)求∠AEC的大小;
(2)求AE的长.
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【题目】已知数列满足, ,其中.
(1)设,求证:数列是等差数列,并求出的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,且AC=BD,平面PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)在△PAD中,AP=2,AD=2 ,PD=4,三棱锥E﹣ACD的体积是 ,求二面角D﹣AE﹣C的大小.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),它与曲线
C:(y-2)2-x2=1交于A、B两点.
(1)求|AB|的长;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.
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【题目】若椭圆和椭圆的焦点相同且.给出如下四个结论:
①椭圆与椭圆一定没有公共点 ②
③ ④
其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
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【题目】如图,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形,∠A为直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=2.
(Ⅰ)求线段BC1的长度;
(Ⅱ)异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=cos(2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数f(x)在区间[-,]上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
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