Question

△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A=60°，a=7，现有以下判断：①bc=24，则S_△ABC=6

3

；②若b=

3

，则B有两解；③b+c不可能等于15；请将所有正确的判断序号填在横线上

①③

．

Answer 1

分析：①由A的度数求出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面积公式S=

1

2

bc•sinA即可求出三角形ABC的面积，作出判断；
②由b小于a，根据大边对大角，得到B的度数小于A的度数，进而得到B的范围，由sinA，b及a的值，利用正弦定理求出sinB的值，判断即可；
③先假设b+c=15，可设b=x，c=15-x，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于x的方程，根据根的判别式小于0，得到此方程无解，故b+c不可能为15．

解答：解：①∵A=60°，即sinA=

3

2

，又bc=24，
∴S_△ABC=

1

2

bc•sinA═6

3

，本选项正确；
②∵7＞

3

，即a＞b，
∴A＞B，即B＜60°，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

3 × 3 2

7

=

3

14

，
则B只有一解，本选项错误；
③若b+c=15，设b=x，则c=15-x，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，
即49=x²+（15-x）²-x（15-x），
整理得：3x²-45x+176=0，
∵△=45²-12×176=-87＜0，
∴此方程无解，
则b+c不可能为15，本选项正确，
则正确的选项有：①③．
故答案为：①③

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，一元二次方程解的情况，以及三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．