Question

20．已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）当a≠0，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若$\frac{1}{3}$≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=Mx（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的对称轴，讨论f（x）的开口方向，利用函数图象得出单调区间；
（2）讨论对称轴与区间[1，3]的关系，计算f（x）的最值，从而得出g（a）的表达式；
（3）判断g（a）的单调性，得出最小值．

解答 解：f（x）的对称轴为直线x=$\frac{1}{a}$，
（1）若a＞0，则f（x）的图象开口向上，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增；
若a＜0，则f（x）的图象开口向下，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减；
（2）∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴$\frac{1}{a}$∈[1，3]．
∴f（x）的最小值为N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
当2≤$\frac{1}{a}$≤3时，即$\frac{1}{3}≤$a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）的最大值M（a）=f（1）=a-1；
当1≤$\frac{1}{a}$＜2时，即$\frac{1}{2}$＜a≤1时，f（x）有最大值M（a）=f（3）=9a-5；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2+\frac{1}{a}，\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}}\\{9a-6+\frac{1}{a}，\frac{1}{2}＜a≤1}\end{array}\right.$．
（3）当$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{1}{2}$时，则g′（a）=1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，
∴g（a）在[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是减函数．
当$\frac{1}{2}$＜a≤1时，则g′（a）=9-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，
∴g（a）在（$\frac{1}{2}$，1]上是增函数．
∴当a=$\frac{1}{2}$时，g（a）取得最小值g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性，最值计算，分类讨论思想，属于中档题．