Question

若圆C₁：（x+4）²+y²=4与x轴相交于A，B两点，点P为圆C₁上不同于点A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于S，T两点，当点P变化时，以ST为直径的圆C₂是否经过圆C₁内一定点，请证明你的结论．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：确定直线PA，PB的方程，可得S，T两点的坐标．当点P变化时，确定以ST为直径的圆C₂的方程，令y=0，求得点的坐标，即可判断否经过圆C₁内一定点．

解答： 解：设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则
∵圆C₁：（x+4）²+y²=4与x轴相交于A，B两点，
∴A（-6，0），B（-2，0），
∴l_PA：y=

y0

x0+6

（x+6），S（0，

6y0

x0+6

），
l_PB：y=

y0

x0+2

（x+1），T（0，

2y0

x0+2

）．
圆C₂的方程化简得x²+y²-（

6y0

x0+6

+

2y0

x0+2

）y-12=0，
令y=0，得x=±2

3

．
又点（-2

3

，0），在圆C₁内，
所以当点P变化时，以ST为直径的圆C₂经过圆C₁内一定点（-2

3

，0）．

点评：本题考查考查圆的方程，考查圆过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．