Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

16

=1与双曲线

x2

8

-y2=1有公共焦点F₁，F₂，P为椭圆与双曲线的一个交点，则面积SPF1F2为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

分析：根据题意，算出椭圆与双曲线公共焦点为F₁（3，0）、F₂（-3，0），得到焦距|F₁F₂|=6．再将椭圆、双曲线的方程联解得到点P的坐标，利用三角形的面积公式加以计算，可得△PF₁F₂的面积．

解答：解：椭圆

x2

25

+

y2

16

=1与双曲线

x2

8

-y2=1的公共焦点为F₁（3，0）、F₂（-3，0）．
∴焦距|F₁F₂|=6．
设P（m，n）是椭圆与双曲线的一个交点，
则

m2 25 + n2 16 =1 m2 8 -n2=1

，解之得

m2= 200 9 n2= 16 9

，得P（

10 2

3

，±

4

3

）或P（-

10 2

3

，±

4

3

）．
∴△PF₁F₂的面积S△PF1F2=

1

2

•|F₁F₂|•|n|=

1

2

×6×

4

3

=4．
故选：B

点评：本题给出有公共焦点F₁、F₂的椭圆与双曲线，它们的一个交点为P，求△PF₁F₂的面积．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题．