Question

在△ABC中，cos(A-C)+2cos2

B

2

=

5

2

，三边a，b，c成等比数列，求B．

Answer 1

分析：把已知等式左边的第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，移项合并后，由B=π-（A+C）再利用诱导公式变形，和差化积后得到sinAsinC的值，然后根据三边a，b，c成等比数列，由等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简后，把求出的sinAsinC的值代入，开方可得出sinB的值，根据B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数．

解答：解：由已知得：cos（A-C）+cosB=

3

2

，
cos（A-C）+cos（A+C）=

3

2

，
∴sinAsinC=

3

4

，
又∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
又由正弦定理得sin²B=sinA•sinC，
∴sin²B=

3

4

，sinB=

3

2

，(-

3

2

舍去)，
∴B=60°或120°，
但若B=120°，则有b＞a，b＞c，b²＞ac，
这与已知b²=ac矛盾，故B≠120°，
∴B=60°

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，以及正弦定理，利用了整体代入的思想．学生在求值时注意根据角度的范围做到合理的取舍，例如求sinB值时，舍去负值是因为B为三角形的内角，不可能取负值；求出B度数后，利用了反证法说明了B≠120°，进而得出了满足题意的B的度数．