Question

已知函数f（x）=4x²-kx-8．
（1）若y=f（x）在区间[2，10]上具有单调性，求实数k的取值范围；
（2）若y=f（x）在区间（-∞，2]上有最小值，为-12，求实数k的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若y=f（x）在区间[2，10]上具有单调性，说明对称轴不在此区间，得到对称轴与端点的位置关系，解不等式；
（2）有两种可能，一是对称轴处取最小值；二是在2处取最小值，分别得到关于k的方程解之．

解答： 解：根据二次函数的图象的对称轴为x=

k

8

，要使y=f（x）在区间[2，10]上具有单调性，
只要

k

8

≥10或者

k

8

≤2，
解得k≥80或者k≤16．
k的取值范围为（-∞，16]∪[80，+∞）．
（2）若

k

8

≤2，即 k≤16，则f（x）的（-∞，2]有最小值为 f（

k

8

）=

k2

16

-

k2

8

-8=-

k2

16

-8=-12，
解得k=±8．
若

k

8

≥2，即k≥16，则y=f（x）在区间（-∞，2]上有最小值f_min=f（2）=8-2k=-12，
解得∴k=10＜16（舍）．
所以k=±8．

点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；关键要明确对称轴与区间的位置关系，求得区间的单调性．