【题目】如图所示,三棱柱中,已知
侧面
.
(1)求证: 平面
;
(2)是棱长
上的一点,若二面角
的正弦值为
,求
的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(Ⅰ)证明AB⊥BC1,在△CBC1中,由余弦定理求解B1C,然后证明BC⊥BC1,利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC.
(Ⅱ)通过AB,BC,BC1两两垂直.以B为原点,BC,BA,BC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标,求出平面AB1E的一个法向量,平面的一个法向量通过向量的数量积,推出λ的方程,求解即可.
试题解析: 证明:因为
平面
,
平面
,所以
,
在中,
,
,
,
由余弦定理得: ,
故,所以
,
又,∴
平面
.
由
可以知道
,
,
,两两垂直,以
为原点
,
,
,所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
,
.
令,∴
,
.
设平面的一个法向量为
,
,
令,则
,
,
∴,
平面
,∴
是平面
的一个法向量,
,两边平方并化简得
,所以
或
.
∴或
.
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【题目】设数列满足:①
;②所有项
;③
.
设集合,将集合
中的元素的最大值记为
.换句话说,
是
数列中满足不等式
的所有项的项数的最大值.我们称数列
为数列
的
伴随数列.例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.
(1)若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列
;
(2)设,求数列
的伴随数列
的前100之和;
(3)若数列的前
项和
(其中
常数),试求数列
的伴随数列
前
项和
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为
(
为参数),点
是曲线
上的一动点,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的方程为
.
(Ⅰ)求线段的中点
的轨迹的极坐标方程;
(Ⅱ)求曲线上的点到直线
的距离的最大值.
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【题目】有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形
(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中
是以
为圆心、
的扇形,且弧
,
分别与边
,
相切于点
,
.
(1)当长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;
(2)当的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?
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【题目】已知函数
(1)若不等式恒成立,则实数
的取值范围;
(2)在(1)中, 取最小值时,设函数
.若函数
在区间
上恰有两个零点,求实数
的取值范围;
(3)证明不等式: (
且
).
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(2,0),其倾斜角为,在以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位),曲线C的极坐标方程为.
(Ⅰ)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角的取值范围;
(Ⅱ)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求的取值范围.
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【题目】已知下列命题:
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样方法是系统抽样;
②两个变量的线性相关程度越强,则相关系数的值越接近于1;
③两个分类变量与
的观测值
,若
越小,则说明“
与
有关系”的把握程度越大;
④随机变量~
,则
.
其中为真命题的是__________.
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