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已知圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线l:x+y+2=o的对称点都在圆C上,则
1
a
+
3
b
的最小值为
1+
3
2
1+
3
2
分析:求出圆的圆心坐标,由题意可知圆心在直线上,得到a,b的方程,然后利用基本不等式求出
1
a
+
3
b
的最小值.
解答:解:圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b为正实数),所以圆的圆心坐标(-
b
2
,-
a
2
),
因为圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线l:x+y+2=o的对称点都在圆C上,
所以直线经过圆心,即a+b=4,
1
a
+
3
b
=(
1
a
+
3
b
a+b
4

=
1
4
+
3
4
+
b
4a
 +
3a
4b

=1+
b
4a
+
3a
4b

≥1+2
b
4a
×
3a
4b

=1+
3
2
.当且仅当
b
4a
=
3a
4b
且a+b=4时取等号.
故答案为:1+
3
2
点评:本题考查直线与圆的位置关系,基本不等式的应用,考查转化思想,计算能力.
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7
,求此圆方程.
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(2)当r=1时,试证明:点B一定是单位圆C上的有理点;(说明:坐标平面上,横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道,一个有理数可以表示为
qp
,其中p、q均为整数且p、q互质)
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x
a
y
b
=1
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