Question

已知函数f（x）=sinx•（2cosx-sinx）+cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设

π

4

＜α＜

π

2

，且f（α）=-

5 2

13

，求sin2α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简解析式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，从而可求函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由已知先求得sin(2α+

π

4

)=-

5

13

，即可求得cos(2α+

π

4

)=-

12

13

，由角的关系从而可求则sin2α的值．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） f（x）=sin2x-sin²x+cos²x=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
故函数f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由f(α)=-

5 2

13

，即

2

sin(2α+

π

4

)=-

5 2

13

，得sin(2α+

π

4

)=-

5

13

，
因为

π

4

＜α＜

π

2

，所以

3π

4

＜2α+

π

4

＜

5π

4

，可得cos(2α+

π

4

)=-

12

13

，
则sin2α=sin[(2α+

π

4

)-

π

4

]=

2

2

sin(2α+

π

4

)-

2

2

cos(2α+

π

4

)
=

2

2

×(-

5

13

)-

2

2

×(-

12

13

)=

7 2

26

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．