Question

【题目】已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，M为AB的中点，将△ADM沿DM折起，得到四棱锥A1﹣DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题:①BN∥平面A1DM；②三棱锥N﹣DMC的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C.其中正确命题的序号为_____.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

分别延长DM，CB交于H，连接A1H，可证B为CH的中点，因此有BN∥A1H，可得①为正确；要使三棱锥N﹣DMC的体积最大，只需N到平面DMBC的距离最大，当平面A1DM⊥平面DMBC时满足，可求得此时体积为，②正确；DM=CM=2，CD=4，

可得DM⊥MC，若DM⊥A1C，可证DM⊥A1M，与已知DM为斜边矛盾，③错误.

对于①，分别延长DM，CB交于H，连接A1H，如图所示;

由已知得，可得B为CH的中点，

可得BN为△A1CH的中位线，可得BN∥A1H，

BN平面A1DM，A1H平面A1DM，

可得BN∥平面A1DM∴①正确；

对于②，当平面A1DM⊥平面DMBC时，

A1到平面DMBC的距离最大，且为，

此时N到平面DMBC的距离最大，且为，

△DMC的面积为2×4=4，

可得三棱锥N﹣DMC的最大体积为4，

∴②正确；

对于③，若DM⊥A1C，又DM=CM=2，CD=4，

可得DM⊥MC，则DM⊥平面A1CM，即有DM⊥A1M，

这与DM为斜边矛盾，∴③错误；

综上，以上正确命题的序号为①②.

故答案为:①②.