Question

函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx．
（I）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的两个极值点的充要条件．
（II）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

Answer 1

分析：（I）由F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，其定义域为（0，+∞），知F‘(x)=2ax+2-

1

x

=

2ax2+2x-1

x

，由F（x）有两个极值点，知方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，由此能求出F（x）有两个极值点的充要条件．
（II）不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是a≥

lnx-(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

，由此能够证明当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

解答：解：（I）函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定义域为（0，+∞）．
∴F‘(x)=2ax+2-

1

x

=

2ax2+2x-1

x

，
∴F（x）有两个极值点，
∴方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，
∴

△=4+8a＞0 x1+x2=- 1 a ＞0 x1•x2=- 1 2a ＞0

，
解得-

1

2

＜a＜0，
∴F（x）有两个极值点的充要条件是-

1

2

＜a＜0．
（II）证明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥

lnx-(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

，
当x∈(0，

1

2

)时，h′（x）＞0，
当x∈(

1

2

，+∞)时，h′（x）＜0．
∴x=

1

2

时，h（x）_max=ln

1

2

-2＜0，
故x∈（0，+∞），都有

lnx-(2x+1)

x2

＜0，
∴当a≥0时，a≥

lnx-(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立，
即当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是a≥

lnx-(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．