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9.双曲线C;$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0))的左右焦点分别为F1,F2,双曲线C上一点P到右焦点F2的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,若△PF1F2为锐角三角形,则双曲线C的离心率的取值范围是(  )
A.($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,+∞)B.(1,1+$\sqrt{3}$)C.($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,1+$\sqrt{3}$)D.($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,2)∪(2,1+$\sqrt{3}$)

分析 由等差数列的性质,可得PF2=$\frac{1}{2}$(c+a+c-a)=c,确定P为右支上一点,求得三角形PF1F2中的三边,运用余弦定理可得(2a+c)2+c2>4c2,4c2+c2>(2a+c)2,由离心率公式,计算即可得到所求范围.

解答 解:由双曲线C上一点P到右焦点F2的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,
即有PF2=$\frac{1}{2}$(c+a+c-a)=c<c+a,c>c-a,
可得P为右支上一点,
在三角形PF1F2中,F1F2=2c,PF1=2a+c,PF2=c,
由余弦定理,可得(2a+c)2+c2>4c2
化简可得c2-2ac-2a2<0,即为e2-2e-2<0,
解得1<e<1+$\sqrt{3}$;
又4c2+c2>(2a+c)2
化简可得e2-e-1>0,解得e>$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
综上可得e的范围是($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,1+$\sqrt{3}$).
故选:C.

点评 本题考查双曲线的定义和性质,考查等差数列的性质,同时考查余弦定理的运用,不等式的解法,属于中档题.

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