Question

某企业科研课题组计划投资研发一种新产品，根据分析和预测，能获得10万元～1000万元的投资收益．企业拟制定方案对课题组进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y=f（x）模拟这一奖励方案．
（Ⅰ）试写出模拟函数y=f（x）所满足的条件；
（Ⅱ）试分析函数模型y=4lgx-3是否符合奖励方案的要求？并说明你的理由．

Answer 1

分析：（I）根据已知中奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，我们易得到函数须要满足的条件；
（II）分析函数y=4lgx-3的性质，并和（I）中的所得的条件进行比照，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意，模拟函数y=f（x）满足的条件是：
（1）f（x）在[10，1000]上是增函数；
（2）f（x）≤9；（3）f（x）≤

1

5

x．（Ⅱ）对于y=4lgx-3，显然它在[10，1000]上是增函数，满足条件（1），
又当10≤x≤1000时，4lg10-3≤y≤4lg1000-3，即y∈[1，9]，从而满足条件（2）
下面证明：f（x）≤

1

5

x，即4lgx-3≤

1

5

x对于x∈[10，1000]恒成立．
令g（x）=4lgx-3-

1

5

x（10≤x≤1000），则g′（x）=

4

xlg10

-

1

5

=

20lge-x

5x

∵e＜

10

，∴lge＜lg

10

=

1

2

∴20lge＜10
∴x≥10
∴20lge-x＜0，∴g′（x）＜0对于x∈[10，1000]恒成立．
∴g（x）在[10，1000]上是减函数
∴g（x）在[10，1000]时，g（x）≤g（10=4lg10-3-

1

5

×10=-1＜0，
即4lgx-3-

1

5

x≤0，即4lgx-3≤

1

5

x对于x∈[10，1000]恒成立．从而满足条件（3）．
故函数模型y=4lgx-3符合奖励方案的要求．

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数的类型，其中分析实际问题，分析出函数满足的条件是解答此类问题的关键．