【题目】在如图所示的几何体中,平面平面,四边形和四边形都是正方形,且边长为,是的中点.
(1)求证:直线平面;
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)连结交于,根据平行四边形性质得是中点,再根据三角形中位线性质得,最后根据线面平行判定定理得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角.
试题解析:(1)∵且,
与交于点,与交于点
∴平面平面,∴几何体是三棱柱
又平面平面,,∴平面,故几何体是直三棱柱
(1)四边形和四边形都是正方形,所以且,所以四边形为矩形;于是,连结交于,连结,是中点,又是的中点,故是三角形D的中位线,,注意到在平面外,在平面内,∴直线平面
(2)由于平面 平面,,∴平面,所以.于是,,两两垂直.以,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,因正方形边长为,且为中点,所以,,,
于是,,设平面的法向量为
则,解之得,同理可得平面的法向量,∴
记二面角的大小为,依题意知,为锐角,,
即求二面角的大小为
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【题目】某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每公斤元,成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每公斤损失元.根据以往的销售情况,按,,,,进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求未来连续三天内,该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤,而另一天日销售量低于公斤的概率;
(2)在频率分布直方图的需求量分组中,以各组区间的中点值代表该组的各个值.
(i)求日需求量的分布列;
(ii)该经销商计划每日进货公斤或公斤,以每日利润的数学期望值为决策依据,他应该选择每日进货公斤还是公斤?
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【题目】在如图所示的多面体中,底面四边形是菱形,,,相交于,,在平面上的射影恰好是线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若直线与平面所成的角为,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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【题目】交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动,随机对该市岁的人群抽样了人,回答问题统计结果如图表所示:
分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的频率 | |
第组 | |||
第组 | |||
第组 | |||
第组 | |||
第组 |
(1)分别求出,,,的值;
(2)从第,,组回答正确的人中用分层抽样方法抽取人,则第,,组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖,求:所抽取的人中至少有一个第组的人的概率.
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【题目】为了解甲、乙两种产品的质量,从中分别随机抽取了10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),如图所示是测量数据的茎叶图.规定:当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时,该产品为优等品.
(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率;
(2)若从甲、乙两种产品的优等品中各随机抽取1件,抽到的2件优等品中,“甲产品的含量28毫克优等品必须在内,且乙产品的含量28毫克优等品不包含在内”为事件,求事件的概率.
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【题目】某二手车交易市场对某型号二手汽车的使用年数与销售价格(单位:万元/辆)进行整理,得到如下的对应数据:
使用年数 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
售价 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
(1)试求关于的回归直线方程;(参考公式:,.)
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据(1)中所求的回归方程,预测为何值时,销售一辆该型号汽车所获得的利润最大?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直角坐标系中动点,参数,在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中,动点在曲线:上.
(1)求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若动点的轨迹和曲线有两个公共点,求实数的取值范围.
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【题目】已知抛物线: 的焦点与椭圆: 的一个焦点重合,点在抛物线上,过焦点的直线交抛物线于、两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程以及的值;
(Ⅱ)记抛物线的准线与轴交于点,试问是否存在常数,使得且都成立?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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