Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点F到右准线的距离为3．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为，求△OPQ的面积．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）．

【解析】

（1）由题可得,,再由可求得,即可得到椭圆方程；

（2）显然直线的斜率不为0,设直线l的方程为x＝my+1,与椭圆方程联立,则利用韦达定理可得的纵坐标的关系,再根据弦长公式求得,由直线截圆的弦长求得,进而求解即可.

（1）由题意知,,

因为,解得a2＝4,b2＝3,

所以椭圆的方程为:1

（2）由题意知直线l的斜率不为0,由（1）知F（1,0）,

设直线l的方程为x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,

联立直线l与椭圆的方程整理得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0,

所以y+y',yy',

所以|PQ|,

因为圆O:x2+y2＝4到l的距离d,被圆O:x2+y2＝4截得的弦长为,

所以得14＝4（4）,解得m2＝1,

所以d,|PQ|,

所以S△OPQ.