Question

已知函数f（x）定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
令-1≤x₁＜x₂≤1，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；
（3）f（x）在[-1，1]上为单调递增函数，f（x）_max=f（1）=1，使f（x）＜m²-2am+1对所有
x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0
令g（a）=m²-2am=-2am+m²，
要使g（a）＞0恒成立，则，
∴m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）；
分析：（1）先利用特殊值法，求证f（0）=0，令y=-x即可求证；
（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），利用定义法进行证明；
（3）由题意f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要f（x）的最大值小于m²-2am+1即可，从而求出m的范围；
点评：考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．