Question

已知以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆与直线x+

3

y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（　　）

• A、3

  2

• B、2

  6

• C、2

  7

• D、4

  2

Answer 1

分析：由题设条件可以求出椭圆的方程是

x2

a2

+

y2

a2-4

=1．再把椭圆和直线联立方程组，由要根的判别式△=0能够求出a的值，从而能够求出椭圆的长轴长．

解答：解：设椭圆长轴长为2a（且a＞2），则椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-4

=1．
由，

x2 a2 + y2 a2-4 =1 x+ 3 y+4=0

得（4a²-12）y²+8

3

（a²-4）y+（16-a²）（a²-4）=0．
∵直线与椭圆只有一个交点，∴△=0，即192（a²-4）²-16（a²-3）×（16-a²）×（a²-4）=0．
解得a=0（舍去），a=2（舍去），a=

7

．∴长轴长2a=2

7

．故选C．

点评：本题考查椭圆的基本知识及其应用，解题时要注意a＞2这个前提条件，不要产生增根．