Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断： ①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值；④AE+EC1的最小值为2 ．
其中正确的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如图，

对于①，∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；

对于②，当E与B重合时，AB1⊥A1B，而C1B1⊥A1B，∴A1B⊥平面AB1C1，则A1E垂直AC1，故②错误；

对于③，由题意知，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点，则△AA1O的面积为定值，由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距离为定值，∴三棱锥E﹣AA1O的体积为定值，故③正确；

对于④，设BE=x，则B1E=2﹣x，∴AE+EC1= ．由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为2 ，故④正确．

∴正确命题的个数是3个．

故选：C．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用棱柱的结构特征的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形．