Question

20．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	5		-5	0

（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）-（2m+1）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据五点法进行求解即可．
（2）根据函数平移关系求出函数g（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可．

解答 解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$，数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	5	0	-5	0

且函数表达式为f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）通过平移，g（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$），方程g（x）-（2m+1）=0可看成函数g（x），x∈[0，$\frac{π}{2}$]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，为使横线y=2m+1与函数g（x）有两个交点，只需$\frac{5}{2}$≤2m+1＜5，解得$\frac{3}{4}$≤m＜2．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法以及函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．