Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线1是圆O：x²+y²=2上动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （ I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程；
（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得a=1，c=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=2，
即有所求双曲C的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）在x²+y²=2上，
圆在点P（x₀，y₀）处的切线方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），
化简得x₀x+y₀y=2．
由$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\\{{x}_{0}x+{y}_{0}y=2}\end{array}\right.$，以及x₀²+y₀²=2得
（3x₀²-4）x²-4x₀x+8-2x₀²=0，
∵l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜x₀²＜2，
3x₀²-4≠0，且△=16x₀²-4（3x₀²-4）（8-2x₀²）＞0，
设A、B两点的坐标分别（x₁，y₁），（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{4{x}_{0}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$，x₁x₂=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}$（2-x₀x₁）（2-x₀x₂）
=x₁x₂+$\frac{1}{2-{{x}_{0}}^{2}}$[4-2x₀（x₁+x₂）+x₀²x₁x₂]
=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$+$\frac{1}{2-{{x}_{0}}^{2}}$[4-$\frac{8{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}（8-2{{x}_{0}}^{2}）}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$]
=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$-$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$=0．
可得OA⊥OB．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．