Question

19．用平行于四面体ABCD的-组对棱AC和BD的平面截此四面体．得一四边形MNPQ．如图所示．
（1）求证：四边形MNPQ是平行四边形；
（2）若AC=BD．能截得菱形吗？如何截？
（3）在什么情况下，可以截得-个矩形？
（4）在什么情况下，能截得-个正方形呢？如何截？
（5）若AC=BD=a，求证：?MNPQ的周长为定值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的性质定理，便可得到AC∥MN，AC∥PQ，BD∥NP，BD∥MQ，这便得出四边形MNPQ为平行四边形；
（2）菱形便是四条边相等，从而看出M，N，P，Q分别为棱AB，BC，CD，DA的中点时，所得四边形为菱形；
（3）矩形就是平行四边形的一个内角为直角，这样可看出当AC⊥BD时截得的便是矩形；
（4）正方形要满足四条边相等，还得是矩形，从而满足（2）（3）即可；
（5）可设$\frac{AM}{AB}=b$，然后根据相似三角形的对应边的比例关系可求出平行四边形MNPQ的邻边长，从而求得周长，并可得出周长为定值．

解答 解：（1）∵BD∥平面MNPQ，BD?平面ABD，平面ABD∩平面MNPQ=MQ；
∴BD∥MQ；
同理，BD∥NP，AC∥MN，AC∥PQ；
∴MQ∥NP，MN∥PQ；
∴四边形MNPQ为平行四边形；
（2）能截得菱形，要截得菱形，则M，N，P，Q分别是棱AB，BC，CD，DA的中点；
（3）当AC⊥BD时，这两异面直线所成的角为90°，∴∠NMQ=90°，四边形MNPQ为矩形；
（4）当M，N，P，Q分别为棱AB，BC，CD，DA中点，且AC⊥BD时，截得的为正方形；
（5）证明：若$\frac{AM}{AB}=b$，则，MQ=ab，MN=（1-b）a；
∴?MNPQ的周长为2[（ab+（1-b）a]=2a；
∴即?MNPQ的周长为定值．

点评 考查线面平行的性质定理，三角形的对应边的比例关系，菱形的定义，以及矩形、正方形的定义．